The Dominative p-Laplacian and Sublinear Elliptic Operators

Abstract

Utgangspunktet for avhandlingen er den såkaltep-Laplace-ligningen. Den er en andregrands partiell differensialligning (PDE), oger en ikke-lineær generalisering av den mer berømte Laplace-ligningen. I 2003 ble det oppdaget et uventet superposisjonsprinsipp for fundamentalløsningenetil p-Laplace-ligningen: Enhver sum a translerte fundamentalløsninger er igjen en superløsning avligningen. Resultatet var overaskende fordi ikke-lineariteten til operatoren tilsier atsuperløsninger ikke bevares under addisjon. I den første artikkelen i avhandlingen forenkler vi beviset av dettesuperposisjonsprinsippet ved å gi en ny og eksplisitt formel for p-Laplace av summen. Den Dominative p-Laplace-Operatoren introduseres i den andre artikkelen iavhandlingen. Dette er igjen en ikke-lineær generalisering av Laplace-operatoren. Den erfaktisk sublineær, og forklarer det mystiske superposisjonsprinsippet forfundamentalløsningene på en naturlig måte. Det er ikke blitt skrevet mye om sublineære operatorer i litteraturen. Så, i dentredje og siste artikkelen i avhandlingen, forsøker vi å utvikle en teori fordenne, tilsynelatende oversette, klassen av elliptiske operatorer.

Summary The starting point of the Thesis is the so-calledp-Laplace Equation. It is a second order partial differential equation (PDE), andis a nonlinear generalization of the more famous Laplace Equation. In 2003 it was discovered that any sum of translatedfundamental solutions to the p-Laplace Equation, is still a supersolution. That was a surprising result because, by thenonlinearity of the operator, supersolutions are in general not preserved underaddition. In the first paper of the Thesis, we simplify theproof of this superposition principle. The simplifying aspect is a new and explicit formulafor the p-Laplacian of the sum. The Dominative p-Laplace Operator is introduced in thesecond paper of the Thesis. This is again a nonlinear (in fact, a sublinear) generalizationof the Laplacian. This new operator provides a natural explanation of the, upuntil now, mysterious superposition principle of the fundamental solutions. There is very little to be found in the literatureabout sublinear operators. Therefore, in the third and final paper of theThesis, we have tried to develop a theory of this, apparently overlooked, classof elliptic operators.